Công thức cấp số cộng
Trong chương trình Đại số, cấp số cộng là một dãy số đặc biệt mà ở đó hiệu của hai số hạng liên tiếp luôn không đổi và bằng một hằng số gọi là công sai. Việc nắm vững các công thức cấp số cộng giúp chúng ta nhanh chóng xác định số hạng tổng quát, tính tổng của nhiều số hạng hay tìm mối liên hệ giữa các phần tử trong dãy. Nắm chắc chủ đề này không chỉ giúp học sinh xử lý chính xác các dạng bài tập trong đề thi mà còn phát triển tư duy logic toán học rất hiệu quả. Đây chính là bước đệm nền tảng để bạn tiếp tục tiếp cận các khái niệm dãy số và cấp số nhân nâng cao hơn.
Cấp số cộng là gì? Tính chất và đặc điểm
Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số không đổi d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Công thức tổng quát: u_n = u_(n-1) + d (với n ≥ 2).
Nếu d = 0: Cấp số cộng là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
Nếu d > 0: Cấp số cộng là một dãy số tăng.
Nếu d < 0: Cấp số cộng là một dãy số giảm.
1. Số hạng tổng quát (u_n)
Số hạng thứ n của một cấp số cộng được xác định theo số hạng đầu u_1 và công sai d bằng công thức:
u_n = u_1 + (n – 1)d (với n ≥ 2)
2. Tính chất các số hạng
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và số hạng cuối đối với dãy hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng kề nó:
u_k = (u_(k-1) + u_(k+1)) / 2 hay u_(k-1) + u_(k+1) = 2u_k (với k ≥ 2)
3. Tổng n số hạng đầu tiên (S_n)
Tổng của n số hạng đầu tiên S_n = u_1 + u_2 + u_3 + … + u_n được tính bằng một trong hai công thức:
S_n = [n * (u_1 + u_n)] / 2
S_n = [n * (2u_1 + (n – 1)d)] / 2
Ví dụ minh họa:
Cho dãy số 2, 5, 8, 11, 14, …
Số hạng đầu u_1 = 2.
Công sai d = 5 – 2 = 3.
Số hạng thứ 10: u_10 = 2 + (10 – 1) * 3 = 29.
Tính chất trung bình cộng: u_3 = 8 = (5 + 11) / 2.
Công thức cấp số cộng đầy đủ
Công thức định nghĩa và công sai (d)
d = u_n – u_(n-1) (với n ≥ 2)
Số hạng tổng quát (u_n)
u_n = u_1 + (n – 1)d (với n ≥ 2)
u_1: Số hạng đầu tiên của dãy
u_n: Số hạng thứ n
d: Công sai
Tính chất các số hạng
Mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) bằng trung bình cộng của hai số hạng kề nó:
u_k = (u_(k-1) + u_(k+1)) / 2 hay u_(k-1) + u_(k+1) = 2u_k (với k ≥ 2)
Tổng n số hạng đầu tiên (S_n)
Khi biết số hạng đầu u_1 và số hạng cuối u_n:
S_n = [n * (u_1 + u_n)] / 2
Khi biết số hạng đầu u_1 và công sai d:
S_n = [n * (2u_1 + (n – 1)d)] / 2
Tính chất chiều biến thiên của dãy:
Dãy số tăng: d > 0
Dãy số giảm: d < 0
Dãy số không đổi: d = 0 (u_1 = u_2 = … = u_n)
Các dạng bài thực tế ứng dụng công thức cấp số cộng cơ bản
Dạng 1: Bài toán tích lũy và tiết kiệm (Tăng/giảm cố định)
Mô tả: Bài toán cho số tiền (hoặc số lượng sản phẩm) ban đầu và mỗi chu kỳ (ngày, tháng, năm) tăng hoặc giảm một lượng cố định.
Cách giải:
Số hạng đầu u_1: Số lượng ban đầu.
Công sai d: Lượng tăng (d > 0) hoặc giảm (d < 0) cố định mỗi chu kỳ.
u_n: Số lượng ở chu kỳ thứ n.
S_n: Tổng số lượng tích lũy sau n chu kỳ.
Ví dụ: Một người tiết kiệm ngày đầu 10.000 đồng, mỗi ngày sau tiết kiệm hơn ngày trước 2.000 đồng (u_1 = 10000, d = 2000). Hỏi sau 30 ngày tổng số tiền tiết kiệm được là bao nhiêu (S_30)?
Dạng 2: Bài toán sắp xếp hình học / Kiến trúc
Mô tả: Xếp các vật thể (ghế trong rạp hát, gạch xây tường, hàng cây, tầng tháp) sao cho hàng sau nhiều hơn hoặc ít hơn hàng trước một số lượng cố định.
Cách giải:
u_1: Số lượng vật thể ở hàng/tầng đầu tiên.
d: Chênh lệch số lượng vật thể giữa hai hàng liên tiếp.
u_n: Số lượng vật thể ở hàng thứ n.
S_n: Tổng số vật thể của toàn bộ khối/hàng.
Ví dụ: Một rạp hát có hàng ghế đầu tiên gồm 15 ghế, mỗi hàng tiếp theo nhiều hơn hàng trước 2 ghế (u_1 = 15, d = 2). Hỏi khán phòng có 25 hàng ghế thì tổng cộng có bao nhiêu ghế (S_25)?
Dạng 3: Bài toán chuyển động thay đổi vận tốc đều
Mô tả: Một vật chuyển động đi được quãng đường trong giây đầu tiên là u_1, mỗi giây tiếp theo quãng đường đi được tăng/giảm thêm một lượng cố định d.
Cách giải:
u_n: Quãng đường vật đi được riêng trong giây thứ n.
S_n: Tổng quãng đường vật đi được sau n giây.
Ví dụ: Một vật rơi tự do (hoặc lăn trên mặt phẳng nghiêng), giây đầu tiên đi được 5 m, mỗi giây sau đi được nhiều hơn giây trước 9,8 m (u_1 = 5, d = 9.8). Hỏi sau 10 giây tổng quãng đường đi được là bao nhiêu (S_10)?
Dạng 4: Bài toán lương thưởng và hợp đồng lao động
Mô tả: Tính mức lương hoặc thu nhập cố định tăng theo năm/tháng với định mức tăng không đổi.
Cách giải:
u_1: Lương năm/tháng đầu tiên.
d: Số tiền lương tăng thêm mỗi năm/tháng.
u_n: Mức lương ở năm thứ n.
S_n: Tổng thu nhập nhận được sau n năm làm việc.
Ví dụ: Một công nhân nhận lương năm đầu là 120 triệu đồng, mỗi năm tiếp theo được tăng thêm 10 triệu đồng (u_1 = 120, d = 10). Tính tổng số tiền công nhân đó nhận được sau 5 năm làm việc (S_5).
5 Bài toán thực tế điển hình trong đề thi THPTQG sử dụng công thức cấp số cộng
Bài 1: Bài toán xếp ghế trong rạp chiếu phim (Tính tổng S_n)
Đề bài: Một rạp chiếu phim có 20 hàng ghế. Hàng ghế đầu tiên có 15 ghế. Mỗi hàng ghế tiếp theo có nhiều hơn hàng ghế ngay trước nó 2 ghế. Hỏi rạp chiếu phim đó có tất cả bao nhiêu ghế?
Tóm tắt & Giải:
Dãy số lập thành một cấp số cộng với u_1 = 15, công sai d = 2, số hàng n = 20.
Tổng số ghế là S_20 = [n * (2u_1 + (n – 1)d)] / 2 = [20 * (2 * 15 + (20 – 1) * 2)] / 2 = 10 * (30 + 38) = 680 (ghế).
Bài 2: Bài toán tiết kiệm theo ngày (Tính tổng tích lũy S_n)
Đề bài: An bắt đầu bỏ heo tiết kiệm. Ngày đầu tiên An bỏ vào heo 5.000 đồng. Từ ngày thứ hai trở đi, mỗi ngày An bỏ vào heo nhiều hơn ngày liền trước 1.000 đồng. Hỏi sau 30 ngày, An tiết kiệm được tổng cộng bao nhiêu tiền?
Tóm tắt & Giải:
Lượng tiền tiết kiệm mỗi ngày tạo thành cấp số cộng với u_1 = 5000, d = 1000, n = 30.
Tổng số tiền tiết kiệm sau 30 ngày: S_30 = [30 * (2 * 5000 + (30 – 1) * 1000)] / 2 = 15 * (10000 + 29000) = 585.000 (đồng).
Bài 3: Bài toán xếp gạch / xếp chồng vật thể (Tìm số hạng u_n và tổng S_n)
Đề bài: Người ta xếp các mảng gạch trang trí lên một bức tường. Tầng dưới cùng (tầng 1) dùng 50 viên gạch. Mỗi tầng phía trên dùng ít hơn tầng ngay dưới nó 3 viên gạch. Hỏi tầng thứ 12 dùng bao nhiêu viên gạch và để hoàn thiện 12 tầng đó cần tổng cộng bao nhiêu viên gạch?
Tóm tắt & Giải:
Dãy số gạch mỗi tầng tạo thành cấp số cộng với u_1 = 50, công sai d = -3.
Số gạch ở tầng thứ 12: u_12 = u_1 + (12 – 1)d = 50 + 11 * (-3) = 17 (viên).
Tổng số gạch cần dùng cho 12 tầng: S_12 = [12 * (u_1 + u_12)] / 2 = [12 * (50 + 17)] / 2 = 402 (viên).
Bài 4: Bài toán mức lương tăng theo chu kỳ (Tìm số năm n)
Đề bài: Anh Bình ký hợp đồng lao động với mức lương năm đầu tiên là 120 triệu đồng. Kể từ năm thứ hai, mỗi năm lương của anh Bình được tăng thêm 12 triệu đồng. Hỏi sau bao nhiêu năm làm việc thì tổng số tiền lương anh Bình nhận được tròn 900 triệu đồng?
Tóm tắt & Giải:
Lương hàng năm lập thành cấp số cộng với u_1 = 120, d = 12. Cần tìm n sao cho S_n = 900.
Áp dụng công thức: S_n = [n * (2u_1 + (n – 1)d)] / 2 <=> 900 = [n * (2 * 120 + (n – 1) * 12)] / 2
Biến đổi: 1800 = n * (240 + 12n – 12) <=> 12n^2 + 228n – 1800 = 0 <=> n^2 + 19n – 150 = 0
Giải phương trình thu được n = 6 (nhận) hoặc n = -25 (loại). Vậy sau 6 năm làm việc.
Bài 5: Bài toán quãng đường rơi tự do (Vật lý – Tìm u_n và S_n)
Đề bài: Một vật rơi tự do không vận tốc đầu. Trong giây đầu tiên vật đi được quãng đường 4,9 m. Quãng đường vật đi được trong mỗi giây tiếp theo đều nhiều hơn quãng đường đi được trong giây ngay trước nó là 9,8 m. Tính quãng đường vật đi được riêng trong giây thứ 5 và tổng quãng đường vật rơi được sau 5 giây.
Tóm tắt & Giải:
Quãng đường đi được từng giây lập thành cấp số cộng với u_1 = 4,9, d = 9,8.
Quãng đường đi riêng trong giây thứ 5: u_5 = u_1 + (5 – 1)d = 4,9 + 4 * 9,8 = 44,1 (m).
Tổng quãng đường rơi sau 5 giây: S_5 = [5 * (u_1 + u_5)] / 2 = [5 * (4,9 + 44,1)] / 2 = 122,5 (m).
Tóm lại, việc làm chủ các công thức của cấp số cộng sẽ giúp bạn đơn giản hóa quá trình tính toán và giải quyết bài tập một cách linh hoạt. Từ công thức tìm số hạng tổng quát cho đến công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên, tất cả đều tuân theo những quy luật toán học rõ ràng và chặt chẽ. Thành thạo kỹ năng này không chỉ phục vụ tốt cho quá trình học tập mà còn giúp bạn ứng dụng vào nhiều bài toán thực tế liên quan đến quy luật tăng trưởng đều. Hãy thường xuyên luyện tập các dạng bài để ghi nhớ sâu công thức và phản xạ nhanh hơn khi làm bài.